Hatte heute in Mathe ein bisschen Langweile und mich deshalb mal ein bisschen mit der Kombinatorik von N*N*N Cubes beschäftigt. Vielleicht interessiert es ja den ein oder anderen, bzw. jemand findet einen Fehler oder hilft mir bei einer Kleinigkeit, bei der ich unsicher bin.
Generell haben wir bei beliebig großen Cubes verschiedene wichtige Bestandteile der Kombinatorik.
Dazu zählen: Corners, Midges, Wings, Centers, Orientation und die Cube Laws. Um das ganze ein bisschen einfacher zu machen, gehn wir die Faktoren der Reihe nach durch. Am Ende wird eh alles zusammenmultipliziert. Wir gehen dabei von einem Cube aus, bei dem N größer als 1 ist. Mal der Einfachheit nach sortiert:
Orientation: Wenn N gerade ist und ich die Steine somit nicht um die fixen Centers anordne, dann muss ich noch alles durch 24 teilen, da ich ja dann 24 verschiedene Orientierungsmöglichkeiten des Cubes habe, die jeweils denselben kombinatorischen Zustand angeben. Also muss ich alles durch 24^(N-1)mod2 teilen. Wenn N ungerade ist, wird die Hochzahl 0 und der Wert 1 und ist in der Division nichtmehr relevant. Wenn N gerade ist, ist die Hochzahl 1 und der Wert bleibt bei 24
Corners: Sie sind der einfache Grundbestandteil und dargestellt durch: 8!*3^8
Ich denke dazu muss ich nichts sagen, Jeder N*N*N Cube hat dieselben Corners.
Midges: Sie sind nur vorhanden, wenn N ungerade ist und dargestellt durch: 12!*2^12
Da sie nur vorkommen, wenn N ungerade ist muss ich den Wert hoch Nmod2 nehmen.
Also bleibt: (12!*2^12)^Nmod2
Wings: Generell beträgt die Formel pro Wingorbit einfach nur 24!
Jetzt muss ich wissen, wieviele Wings es gibt. Das lässt sich darstellen durch ((N-Nmod2)-2)/2
Hier fängt es so langsam an tricky mit der Erklärung zu werden. Ich habe dafür einen Block von Corner bis Corner betrachtet. N-Nmod2 sorgt dafür, dass diese Zahl, wenn sie ungerade ist, um eins verringert wird. Damit ziehe ich die Midges aus diesem Teil heraus, sofern sie existieren. Dann ziehe ich einfach nochmal die 2 Corners ab und teile zum Schluss durch 2, weil in diesem Block alle Wingorbits doppelt sind. (Ich hoffe das war verständlich, sonst ändere ich es nochmal)
Also bleibt: 24!^(((N-Nmod2)-2)/2)
Centers: Centers werden wie die Wings pro Orbit durch 24! dargestellt (Da muss man wegen was aufpassen, aber dazu später). Die Anzahl der Centerorbits lässt sich darstellen durch: (((N-2)^2)-Nmod2)/4
Dazu habe ich mir einfach erstmal eine Seite vorgestellt. Diese hat N^2 Steine. Da ich die äußeren Steine alle nicht brauche, ziehe ich einfach 2 von N ab und erhalte somit die Anzahl der Centers. Mit Nmod2 ziehe ich nun noch das Center in der Mitte ab, falls es eins gibt. Da ich ja 4 Centers pro Seite im selben Orbit habe, teile ich die Zahl noch durch 4. Außerdem muss ich die 24! noch durch 4!*6 teilen, da es pro Farbe 4! an Anordnungen geben kann. Diese sind aber nicht relevant und müssen deswegen rausgeteilt werden. (Welcher von den roten Centers aus dem Orbit wo ist, ist egal. Wichtig ist nur, dass er Rot ist.)
Also bleibt: 24!/(4!^6))^(((N-2)^2)-Nmod2)/4)
Cube Laws:
1. Es können nicht nur 2 Midges/Corners getauscht sein, wenn es Midges gibt: Sofern Midges vorhanden sind alles durch 2 teilen (Ist dann im Midges Part dabei)
2. Es kann nicht nur eine Corner gedreht sein: Bei Corners wird das 3^8 zu einem 3^7
3. Es kann nicht nur eine Midge gedreht sein: Bei Midges wird das 2^12 zu einem 2^11
Nun muss ich noch alles zusammenmultiplizieren. Da das sonst doof aussieht hier mit LaTex ( ( ͡͡ ° ͜ ʖ ͡ °) ):
![[Bild: c2vf.png]](http://www.zahlen-kern.de/editor/equations/c2vf.png)
Formel: \frac{ 8!*3^{7}*(\frac{ 12!*2^{11} }{ 2 })^{Nmod2}*24!^{\frac{ N-2-Nmod2 }{ 2 }}*(\frac{ 24! }{ 4!^{6}})^{\frac{ (N-2)^2-Nmod2 }{ 4 }} }{ 24^{(N-1)mod2} }
Da kann man jetzt natürlich noch recht viel kürzen, aber ich lass es der Übersicht wegen mal so.
Von mir dazu noch (an)Fragen:
1. Gibt es eine mathematischere Lösung für die Darstellung von Modulorechnung?
2. Bitte eventuelle Fehler melden, hab das jetzt ausm Kopf übertragen, weil ich das Blatt nicht finde.
3. Falls etwas nicht verstanden wurde, bitte melden, ich erklärs dann nochmal ausführlicher
Hoffe, das interessiert den ein oder Anderen
Generell haben wir bei beliebig großen Cubes verschiedene wichtige Bestandteile der Kombinatorik.
Dazu zählen: Corners, Midges, Wings, Centers, Orientation und die Cube Laws. Um das ganze ein bisschen einfacher zu machen, gehn wir die Faktoren der Reihe nach durch. Am Ende wird eh alles zusammenmultipliziert. Wir gehen dabei von einem Cube aus, bei dem N größer als 1 ist. Mal der Einfachheit nach sortiert:
Orientation: Wenn N gerade ist und ich die Steine somit nicht um die fixen Centers anordne, dann muss ich noch alles durch 24 teilen, da ich ja dann 24 verschiedene Orientierungsmöglichkeiten des Cubes habe, die jeweils denselben kombinatorischen Zustand angeben. Also muss ich alles durch 24^(N-1)mod2 teilen. Wenn N ungerade ist, wird die Hochzahl 0 und der Wert 1 und ist in der Division nichtmehr relevant. Wenn N gerade ist, ist die Hochzahl 1 und der Wert bleibt bei 24
Corners: Sie sind der einfache Grundbestandteil und dargestellt durch: 8!*3^8
Ich denke dazu muss ich nichts sagen, Jeder N*N*N Cube hat dieselben Corners.
Midges: Sie sind nur vorhanden, wenn N ungerade ist und dargestellt durch: 12!*2^12
Da sie nur vorkommen, wenn N ungerade ist muss ich den Wert hoch Nmod2 nehmen.
Also bleibt: (12!*2^12)^Nmod2
Wings: Generell beträgt die Formel pro Wingorbit einfach nur 24!
Jetzt muss ich wissen, wieviele Wings es gibt. Das lässt sich darstellen durch ((N-Nmod2)-2)/2
Hier fängt es so langsam an tricky mit der Erklärung zu werden. Ich habe dafür einen Block von Corner bis Corner betrachtet. N-Nmod2 sorgt dafür, dass diese Zahl, wenn sie ungerade ist, um eins verringert wird. Damit ziehe ich die Midges aus diesem Teil heraus, sofern sie existieren. Dann ziehe ich einfach nochmal die 2 Corners ab und teile zum Schluss durch 2, weil in diesem Block alle Wingorbits doppelt sind. (Ich hoffe das war verständlich, sonst ändere ich es nochmal)
Also bleibt: 24!^(((N-Nmod2)-2)/2)
Centers: Centers werden wie die Wings pro Orbit durch 24! dargestellt (Da muss man wegen was aufpassen, aber dazu später). Die Anzahl der Centerorbits lässt sich darstellen durch: (((N-2)^2)-Nmod2)/4
Dazu habe ich mir einfach erstmal eine Seite vorgestellt. Diese hat N^2 Steine. Da ich die äußeren Steine alle nicht brauche, ziehe ich einfach 2 von N ab und erhalte somit die Anzahl der Centers. Mit Nmod2 ziehe ich nun noch das Center in der Mitte ab, falls es eins gibt. Da ich ja 4 Centers pro Seite im selben Orbit habe, teile ich die Zahl noch durch 4. Außerdem muss ich die 24! noch durch 4!*6 teilen, da es pro Farbe 4! an Anordnungen geben kann. Diese sind aber nicht relevant und müssen deswegen rausgeteilt werden. (Welcher von den roten Centers aus dem Orbit wo ist, ist egal. Wichtig ist nur, dass er Rot ist.)
Also bleibt: 24!/(4!^6))^(((N-2)^2)-Nmod2)/4)
Cube Laws:
1. Es können nicht nur 2 Midges/Corners getauscht sein, wenn es Midges gibt: Sofern Midges vorhanden sind alles durch 2 teilen (Ist dann im Midges Part dabei)
2. Es kann nicht nur eine Corner gedreht sein: Bei Corners wird das 3^8 zu einem 3^7
3. Es kann nicht nur eine Midge gedreht sein: Bei Midges wird das 2^12 zu einem 2^11
Nun muss ich noch alles zusammenmultiplizieren. Da das sonst doof aussieht hier mit LaTex ( ( ͡͡ ° ͜ ʖ ͡ °) ):
Formel: \frac{ 8!*3^{7}*(\frac{ 12!*2^{11} }{ 2 })^{Nmod2}*24!^{\frac{ N-2-Nmod2 }{ 2 }}*(\frac{ 24! }{ 4!^{6}})^{\frac{ (N-2)^2-Nmod2 }{ 4 }} }{ 24^{(N-1)mod2} }
Da kann man jetzt natürlich noch recht viel kürzen, aber ich lass es der Übersicht wegen mal so.
Von mir dazu noch (an)Fragen:
1. Gibt es eine mathematischere Lösung für die Darstellung von Modulorechnung?
2. Bitte eventuelle Fehler melden, hab das jetzt ausm Kopf übertragen, weil ich das Blatt nicht finde.
3. Falls etwas nicht verstanden wurde, bitte melden, ich erklärs dann nochmal ausführlicher
Hoffe, das interessiert den ein oder Anderen
