29.03.2010, 23:15
Der Würfel als mathematische Gruppe
Der Würfel kann als mathematische Gruppe aufgefasst werden.
Hierfür wird jede Stellung als eine Verknüpfung der sechs möglichen Basis-Permutationen \boldsymbol B = \{V, H, R, L, O, U\} betrachtet.
Alle möglichen Permutationen (Stellungen) bilden die Menge \boldsymbol G_W. Jede Stellung ist durch eine Verknüpfung der sechs Grundpermutationen \boldsymbol B_W = \{V, H, R, L, O, U\} \subset \boldsymbol G_W zu erreichen, die mit der zweistelligen Verknüpfung \circ:\boldsymbol G\times \boldsymbol G\rightarrow \boldsymbol G verbunden werden.
Außerdem existiert sowohl ein neutrales Element, die Grundstellung i (entspricht einer „Nulloperation“ ausgeführt auf dem gelösten Würfel), denn für alle möglichen Permutationen (Gruppenelemente) p gilt p\circ i = i \circ p = p, als auch ein inverses Element, da zu jeder Permutation p ein Element p − 1 mit p\circ p^{-1} = p^{-1}\circ p = i existiert, zum Beispiel R \circ R^{-1} = i oder H^{-2} \circ U^{-1} \circ U \circ H^2 = i. Weiterhin gilt für alle X \in \boldsymbol B_W: X^2 = X^{-2}.
Das Tripel (\boldsymbol G,\circ, i) bildet daher eine Gruppe im Sinne der Algebra. Diese ist nicht kommutativ, da die Verknüpfung \circ nicht kommutativ ist (R \circ H \neq H \circ R).
Lösungen des Würfels
Sei jetzt eine Permutation s \in \boldsymbol G_W gegeben (ein verdrehter Würfel), so besteht die Aufgabe darin, eine endliche Folge (σi) von Permutationen aus der Menge \boldsymbol B_W zu finden, die genau diese Permutation s erzeugt:
\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \ldots \circ \sigma_n = s
Die Lösung ist nicht eindeutig, das heißt, es gibt viele Lösungen, von denen die kürzeste gesucht ist. Der Durchmesser der Gruppen, also die maximale Länge einer Permutation, mit der alle Elemente aus \boldsymbol G erreicht werden, ist für \boldsymbol G_W unbekannt.
Im Juni 2007 haben Gene Cooperman und Dan Kunkle von der Northeastern University in Boston gezeigt, dass 26 Züge stets ausreichen.[5] Im April 2008 hat sich diese Schranke nochmal auf 23 verringert (s.o.).
Ordnung der Gruppe G
Die Ordnung einer Gruppe (\boldsymbol G,\circ,i) entspricht der Mächtigkeit ihrer Trägermenge |\boldsymbol G|. Da es nur eine endliche Zahl von möglichen Stellungen geben kann, entspricht diese der Anzahl der möglichen Stellungen:
|\boldsymbol G_W| = \frac{ 8! \cdot 3^8 \cdot 12! \cdot 2^{12}}{3 \cdot 2 \cdot 2} = 43.252.003.274.489.856.000 \approx 4{,}3 \cdot 10^{19} [6]
Diese ergeben sich aus
* 8 Stellen, an denen sich die Eckwürfel befinden können (8!),
* 3 Drehpositionen, die jeder Eckwürfel einnehmen kann (38),
* 12 Stellen, auf die sich die Kantenwürfel verteilen (12!),
* 2 Drehpositionen, die jede Kante einnehmen kann (212).
Der Nenner ergibt sich aus drei Bedingungen, die gelten, wenn der Würfel verdreht, aber nicht auseinandergenommen wird:
* Wenn ein Eckwürfel verdreht ist, dann ist immer eine weitere Ecke verdreht (3)
* Wenn eine Kante verdreht ist, dann ist immer eine weitere Kante verdreht (2)
* Wenn zwei Eckwürfel in ihrer Stelle vertauscht, aber nicht verdreht sind, dann sind auch zwei Kanten miteinander vertauscht (2).
Aus Wikipedia da
Der Würfel kann als mathematische Gruppe aufgefasst werden.
Hierfür wird jede Stellung als eine Verknüpfung der sechs möglichen Basis-Permutationen \boldsymbol B = \{V, H, R, L, O, U\} betrachtet.
Alle möglichen Permutationen (Stellungen) bilden die Menge \boldsymbol G_W. Jede Stellung ist durch eine Verknüpfung der sechs Grundpermutationen \boldsymbol B_W = \{V, H, R, L, O, U\} \subset \boldsymbol G_W zu erreichen, die mit der zweistelligen Verknüpfung \circ:\boldsymbol G\times \boldsymbol G\rightarrow \boldsymbol G verbunden werden.
Außerdem existiert sowohl ein neutrales Element, die Grundstellung i (entspricht einer „Nulloperation“ ausgeführt auf dem gelösten Würfel), denn für alle möglichen Permutationen (Gruppenelemente) p gilt p\circ i = i \circ p = p, als auch ein inverses Element, da zu jeder Permutation p ein Element p − 1 mit p\circ p^{-1} = p^{-1}\circ p = i existiert, zum Beispiel R \circ R^{-1} = i oder H^{-2} \circ U^{-1} \circ U \circ H^2 = i. Weiterhin gilt für alle X \in \boldsymbol B_W: X^2 = X^{-2}.
Das Tripel (\boldsymbol G,\circ, i) bildet daher eine Gruppe im Sinne der Algebra. Diese ist nicht kommutativ, da die Verknüpfung \circ nicht kommutativ ist (R \circ H \neq H \circ R).
Lösungen des Würfels
Sei jetzt eine Permutation s \in \boldsymbol G_W gegeben (ein verdrehter Würfel), so besteht die Aufgabe darin, eine endliche Folge (σi) von Permutationen aus der Menge \boldsymbol B_W zu finden, die genau diese Permutation s erzeugt:
\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \ldots \circ \sigma_n = s
Die Lösung ist nicht eindeutig, das heißt, es gibt viele Lösungen, von denen die kürzeste gesucht ist. Der Durchmesser der Gruppen, also die maximale Länge einer Permutation, mit der alle Elemente aus \boldsymbol G erreicht werden, ist für \boldsymbol G_W unbekannt.
Im Juni 2007 haben Gene Cooperman und Dan Kunkle von der Northeastern University in Boston gezeigt, dass 26 Züge stets ausreichen.[5] Im April 2008 hat sich diese Schranke nochmal auf 23 verringert (s.o.).
Ordnung der Gruppe G
Die Ordnung einer Gruppe (\boldsymbol G,\circ,i) entspricht der Mächtigkeit ihrer Trägermenge |\boldsymbol G|. Da es nur eine endliche Zahl von möglichen Stellungen geben kann, entspricht diese der Anzahl der möglichen Stellungen:
|\boldsymbol G_W| = \frac{ 8! \cdot 3^8 \cdot 12! \cdot 2^{12}}{3 \cdot 2 \cdot 2} = 43.252.003.274.489.856.000 \approx 4{,}3 \cdot 10^{19} [6]
Diese ergeben sich aus
* 8 Stellen, an denen sich die Eckwürfel befinden können (8!),
* 3 Drehpositionen, die jeder Eckwürfel einnehmen kann (38),
* 12 Stellen, auf die sich die Kantenwürfel verteilen (12!),
* 2 Drehpositionen, die jede Kante einnehmen kann (212).
Der Nenner ergibt sich aus drei Bedingungen, die gelten, wenn der Würfel verdreht, aber nicht auseinandergenommen wird:
* Wenn ein Eckwürfel verdreht ist, dann ist immer eine weitere Ecke verdreht (3)
* Wenn eine Kante verdreht ist, dann ist immer eine weitere Kante verdreht (2)
* Wenn zwei Eckwürfel in ihrer Stelle vertauscht, aber nicht verdreht sind, dann sind auch zwei Kanten miteinander vertauscht (2).
Aus Wikipedia da