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RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Pfefferkuchen - 16.05.2012
Zuerst mal vielen Dank für die schnelle Antwort. Ja, rho ist eine Permutation der Kanten und sigma einer der ecken. Meine Frage war, wieso diese Bedingung erfüllt werden muss oder im Umkehrschluss, was passieren würde, wenn sie nicht gegeben wäre;evt ein konkretes Gegenbeispiel, wäre hilfreich; blicke da grad nich ganz durch,
lg
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - tim - 16.05.2012
Ecken = (1 2 3 4 5 6 7 8)
Kanten = (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12)
sgn(Kanten) = sgn(Ecken) = 1
Nach U (bzw. U'):
Ecken = (4 1 2 3 5 6 7 8)
Kanten = (4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12)
sgn(Kanten) = sgn(Ecken) = -1
Daraus folgt zum Beispiel, dass man nie nur zwei Ecken tauschen kann, denn dadurch wäre sgn(Ecken) = -1 und sgn(Kanten) = 1
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Pfefferkuchen - 16.05.2012
Nochmals vielen Dank für die schnelle Antwort. Das heißt es also gibt kein Manöver, das einfach 2 Ecken tauschen kann, also die resultierende position keine durch Drehungen erreichbare ist?
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - tim - 16.05.2012
Richtig, weil nach jeder Drehung die Bedingung erfüllt ist, wenn sie schon vor der Drehung galt. Man kann also Induktion über die Anzahl der Züge machen um das zu beweisen.
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Pfefferkuchen - 18.05.2012
Hey ich habe noch eine Frage und zwar: wieso ist die Anzahl aller möglichen Operationen gleich der der Menge aller möglichen Positionen? Rein Intuitiv würd ich sagen weil es genau eine Operation gibt, die ein Position bewirkt, doch wie lässt sich das beweisen?
Und wie groß ist eigentlich die Mächtigkeit der kleinen Manövergruppe?
lg
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - moritz - 18.05.2012
(18.05.2012, 11:54)Pfefferkuchen schrieb: ...weil es genau eine Operation gibt, die ein Position bewirkt, doch wie lässt sich das beweisen?öhm gibt es nicht? gegenbeispiel: U2 U' bewirkt das selbe wie U.
(18.05.2012, 11:54)Pfefferkuchen schrieb: Und wie groß ist eigentlich die Mächtigkeit der kleinen Manövergruppe?definiere "kleine manövergruppe". bei google find ich nur militärisches.
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Stefan Pochmann - 18.05.2012
(18.05.2012, 13:15)moritzkarl schrieb: öhm gibt es nicht? gegenbeispiel: U2 U' bewirkt das selbe wie U.
Gemeint war wohl der Effekt der Drehfolge, nicht die Drehfolge selbst.
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Pfefferkuchen - 18.05.2012
my bad
natürlich mein ich mit Operationen die Permutationen einzelner Würfel. Das Manöver bildet ja nur in die Gruppe der Operationen ab, und da die Abbildung nicht bijektiv ist gilt es ja nicht umgekehrt. man kann also sagen, dass die Manövergruppe unendlcih groß ist weil man an jedes Manöver eine unendliche große Anzahl an nichts bewirkenden Züge hängen kann?
lg
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Pfefferkuchen - 18.05.2012
Die kleine Manövergruppe beinhalted alle endlichen Folgen von Randscheibenzügen, zB U, oder UR oder URL wären Manöver der kl. Manövergruppe. Btw dürfen in einem Manöver keine Züge der gl. Scheibe aufeinander folgen. (U^2 ist legitim U^2U jedoch nicht)
lg
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Stefan Pochmann - 18.05.2012
(18.05.2012, 14:01)Pfefferkuchen schrieb: man kann also sagen, dass die Manövergruppe unendlcih groß ist weil man an jedes Manöver eine unendliche große Anzahl an nichts bewirkenden Züge hängen kann?
Ob die nichts bewirken ist doch egal, offensichtlich gibt's einfach eine unendliche Anzahl Manoever. Schon allein (UR)^n fuer jede natuerliche Zahl n.