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RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - egon.Ages - 24.09.2009
ich finde die idee Rubiks Cube als FA sehr gut, ist mir auch schon in den Sinn gekommen.
hätt ich mathe als LK, würd ichs auf jeden Fall machen denk ich. ich würds dir auf jeden fall empfehlen, ein freund von mir überlegt sich im Moment auch, ob ers machen soll.
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - sol1x - 06.10.2009
Ich hätte noch eine Frage an euch:
Kennt irgendeiner von euch eine Seite, auf der es einen Beweis gibt, dass man den würfel nichtmehr lösen kann, wenn man eine Edge rausnimmt und umdreht?!
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Ben - 06.10.2009
Kann man nicht irgendwie mathematisch beweisen, dass es unmöglich ist eine Edge zu drehn? Das würd dir ja schon reichen, oder?
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - NoraC - 06.10.2009
also ich find die idee super
ich bin erst in der 10. habe deswegen mit facharbeiten noch ncihts zu tun (bin ja noch G9)ich kenne auch keine seite wo das bewiesen wird...versuch dich doch selbst mal ran...ich kann aber ml einen aus meiner klasse fragen der kann den cube auch lösen und hat ein mathematisches verständnis das ist echt krass^^
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - sol1x - 06.10.2009
genau das suche ich ...
ich hätte eine idee wie ich das machen könnte ...
und zwar wenn man jede Operation (uns allen bekannt unter F B U D R L) in Zykelschreibweise beschreibt - glaube ich, dass mein zeigen könnte, dass das nicht machbar ist^^
aber ich weiß nicht ob es wirklich geht, da das Problem ja eigentlich nicht in der Mathematik existiert sondern in der Mechanik des Würfels :-?
EDIT: @Nora:
naja am mathematischen verständnis fehlts mir normal auch nicht :roll: ich denke der schnitt letztes jahr von 1.0 ist aussagekräftig. Aber das ist etwas anderes als Schulmathematik ;-)
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Noppel - 06.10.2009
Es gibt einige Seiten, die sich mit der Theorie des Zauberwürfels (und auch Gruppentheorie) beschäftigen, z.B.
englisch:
http://www.ryanheise.com/cube/group_theory.html
http://www.jaapsch.net/puzzles/groups.htm
deutsch
http://www.mathematische-basteleien.de/zauberwuerfel.htm#Etwas%20Mathematik
http://www.rossleben2001.werner-knoben.de/doku/kurs71web/node3.html
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - loose - 06.10.2009
http://www.ryanheise.com/cube/cube_laws.html
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - sol1x - 06.10.2009
(06.10.2009, 15:01)Noppel schrieb: Es gibt einige Seiten, die sich mit der Theorie des Zauberwürfels (und auch Gruppentheorie) beschäftigen, z.B.
englisch:
http://www.ryanheise.com/cube/group_theory.html
http://www.jaapsch.net/puzzles/groups.htm
deutsch
http://www.mathematische-basteleien.de/zauberwuerfel.htm#Etwas%20Mathematik
http://www.rossleben2001.werner-knoben.de/doku/kurs71web/node3.html
Das kannte ich schon alles ;-)
(06.10.2009, 15:52)loose schrieb: http://www.ryanheise.com/cube/cube_laws.html
aber genau das hab ich gebraucht =)
Danke an alle =)
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - Hubi - 06.10.2009
(24.09.2009, 15:24)loose schrieb: Mein Mathelehrer hat sich immer beschwert, dass die Schüler von Jahr zu Jahr immer über die gleichen Themen schreiben. Gruppentheorie ist ja recht abstrakt, daher wird es deinen Lehrer sicher freuen, wenn du das ganze auf den Rubik's Cube übertragen kannst. Ist auch sicher mal ne Abwechslung für den Lehrer, und das kommt immer gut an.
btw: Ich hab meine Facharbeit in der Jgst. 12 übrigens über die Eulersche Identität geschrieben (noch bevor ich mit dem Cuben angefangen habe)
das ist ja mal ein Zufall
ich hatte geplant, mein Matura-Spezialgebiet in Mathe über die Gruppentheorie zu verfassen. Durch einen Lehrerwechsel konnte ich das aber vergessen [obwohl ich schon 10 Seiten geschrieben hatte, hrmf] und hab die komplexen Zahlen mit Fokus auf der eulerschen [das schreibt man klein, wenn man nicht apostrophiert, btw] Identität gewählt. xD
(06.10.2009, 13:49)Ben schrieb: Kann man nicht irgendwie mathematisch beweisen, dass es unmöglich ist eine Edge zu drehn? Das würd dir ja schon reichen, oder?
den beweis kenn ich.
er beruht darauf, dass jeder einzelne Turn eine gerade Anzahl an Edges flippt
das war's. Es ist schließlich mechanisch unmöglich.mathematisch formuliert schauts natürlich anders aus. Ich glaub, Bandelow hat den in seinem Buch.
Büchertipps:
Einführung in die Cubologie - Christoph Bandelow [hat nen netten Abschnitt über cubes und gruppentheorie; noch aus den 80ern, eher schwer zu bekommen]
Einführung in die Gruppentheorie - Pawel Alexandroff [einfach zu bekommen, recht neu, aber nur Gruppentheorie allgemein. aber eine Facharbeit kannste wohl kaum nur über den Würfel schreiben ^^]
Adventures in Group Theory - Rubik's Cube, Merlin's Machine & other mathematical toys - David Joyner [auch schwer zu bekommen]
zum Beweis:
Ausschnitt, das in den eckigen Klammern kommt von mir; man braucht allerdings seine Definitionen zu kennen, um damit was anfangen zu können:
"2.4. Charakterisierung der möglichen Positionen und Operationen
Mit dem folgenden Satz kann einer beliebigen Position mühelos angesehen werden, ob sie durch Scheibendrehungen in den Ausgangszustand überführt werden kann oder nicht.
Satz 1. Eine R-Position (rho, sigma, x, y) ist genau dann möglich, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(a) sgn(rho) = sgn(sigma) [damit meint er das Vorzeichen der Permutation/ob sie gerade oder ungerade ist, der Kanten bzw. Ecken, also wird durch diesen Satz die Parity weggenommen]
(b) x1 + x2 +... + x8 = 0 modulo 3 [= Corners Orientation]
© y1 + y2 + ... + y12 = 0 modulo 2 [= Edge Orientation]
Beweis. (1) Wir zeigen zunächst, dass die drei Bedingungen notwendig sind, d.h. für jede mögliche Position gelten. Dies ist recht einfach. Einerseits sind (a), (b) und © für den Ausgangszustand I(p) mit rho = I(S(8)), sigma = I(S(12)), also sgn rho = sgn sigma = 1, und mit x1 = x2 = ... = x8 = y1 = y2 = ... = y12 = 0 erfüllt.
Andererseits bleiben (a), (b) und © bei jedem der sechs 90° Züge O, U R, L, V und H erhalten: (a) bleibt gültig, da jeder dieser Züge gleichzeitig einen Ecken-4-Zyklus und einen Kanten-4-Zyklus, also eine ungerade Permutation der Eckencubies und eine ungerade Permutation der Kantencubies, bewirkt. (b) bleibt gültig, da sich die Komponenten von x bei O oder U überhaupt nicht ändern, während sich bei R, L, V und H jeweils zwei Komponenten um 1 modulo 3 erhöhen und zwei Komponenten um 1 modulo 3 erniedrigen. © bleibt gültig, da sich bei jedem der sechs Züge genau vier Komponenten von y um 1 ändern."
- Christoph Bandelow in "Einführung in die Cubologie", Braunschweig 1981
[Als nächstes muss noch bewiesen werden, dass die Bedingungen auch hinreichend sind, das braucht dann doch noch ein Weilchen...]
Eine direkte Folgerung daraus ist ja die Anzahl der möglichen Positionen, quasi die Mächtigkeit der Rubikgruppe:
1/12*8!*12!*3^8*2^12 = 43 252 003 274 489 856 000
RE: Facharbeit Mathe: Rubiks Cube und die Gruppentheorie - sol1x - 06.10.2009
(06.10.2009, 19:14)Hubi schrieb: Büchertipps:das erste kenn ich nicht
Einführung in die Cubologie - Christoph Bandelow [hat nen netten Abschnitt über cubes und gruppentheorie; noch aus den 80ern, eher schwer zu bekommen]
Einführung in die Gruppentheorie - Pawel Alexandroff [einfach zu bekommen, recht neu, aber nur Gruppentheorie allgemein. aber eine Facharbeit kannste wohl kaum nur über den Würfel schreiben ^^]
Adventures in Group Theory - Rubik's Cube, Merlin's Machine & other mathematical toys - David Joyner [auch schwer zu bekommen]
das zweite:
Doch mein Thema ist nun den "Zauberwürfel anhand der Gruppentheorie" zu erklären ;-) etc. - hab ja eh noch über ein Jahr zeit xD
des 3.:
Ja das hab ich auch schon gesehen - da gibts aber noch das "Handbook of Cubic Math"
das werd ich mir wohl besorgen ;-) ... vorallem hat David Joyner auch einiges aus diesem Buch - schreibt er zumindest in der Einleitung