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Ich hab einen Ansatz....
Ich denke man kann einfach über die Kreisabschnitte gehen
Es ist ja nur eine und nicht die kürzeste Lösung gefragt...


Radius der Kreise aus denen die Kreisabschnitte stammen ist 1.
Ich würde das erstmal Bild um einen Vollkreis erweitern ( einen der vier Kreisabschnitte zuende zeichnen ), ein viertel der roten Fläche lässt sich dann mit einer passend gelegten Sekante in ein rechtwinkliges Dreieck und einen Kreisabschnitt teilen...

Über 2x Pythagoras und einsetzen in die Kreisgleichung bekommt man die Punkte in denen die Sekante den Kreis schneidet und kann so das Dreieck berechnen...
An dem Kreiabschnitt bin ich noch dran^^.
Edit:
Für den Abstand zwischen den beiden Sekantenschnittpunkten wieder ein Pythagoras.

Rechnung:
legt man für die Rechnung den KO-Ursprung in die Mitte des Quadrats erhält man als weitere Punkte des Dreiecks (Längeneinheit 1 immernoch nach dem Quadrat):
( A (0|0) ); B ( (3/4)^(1/2) -1/2 | 0 ); C ( 0 | (3/4)^(1/2) -1/2)
A= 4 * [ (( (3/4)^(1/2) -1/2) ^2)/2 + "Kreisabschnitt"]
Somit
A= 0.2679.... + 4x "Kreisabschnitt"

Sehne: s=0.51763809020504....

Den Rest rechne ich morgen, wenn ihr es bis dahin noch nicht habt...

Ist das richtig?

Also ich habs über Integral gemacht und raus kam bei mir 0.81 mein Bruder hat irgend was mit 0.89 raus. Was ist denn das richtige Ergebnis? ^^

Also wenn ich das auf dem Bild mal so abschätze muss eigentlich was unter 0,5 rauskommen...
Zieht doch einfach mal von den Mitten jeder Seite zu den nebengelegenen eine Linie...
dann bleibt in der Mitte 1/2 über und das ist nicht alles rot...

...ich will ja echt nicht den Spaß verderben, aber es es könnte sein, daß die richtige Lösung irgendwie schon genannt wurde...
Die Erklärung schicke ich gerne auf Anfrage per PN zu.

Achtung, im nächsten Spoiler steht die Wahrheit und nichts als die Wahrheit!

0.315147 und stefan hat ja gesagt "in der größenordnung 1/3" also denk ich doch dass das stimmt.
das integral

π/3 - sqrt(3) + 1

Man betrachte die Schnittmenge zweier Viertelkreise (deren Mittelpunkte an der gleichen seite des Quadrates liegen)
--> dies ergibt einen "Zuckerhut"
Über diesen Zuckerhut läßt sich mit der Differenz zum Viertelkreis die innere Fläche ermitteln: Quadrat - 4*(Viertelkreis-Zuckerhut)
Der Flächeninhalt des Zuckerhuts läßt sich leicht über die Differenz des eingeschlossenen gleichseitigen Dreiecks der Kantenlänge 1 und dem Sechstelkreis ermitteln: Man addiert einfach diese Differenz zum Sechstelkreis hinzu: 1/6pi + 1/6pi - Wurzel(3)/4