(24.09.2009, 15:24)loose schrieb: [ -> ]Mein Mathelehrer hat sich immer beschwert, dass die Schüler von Jahr zu Jahr immer über die gleichen Themen schreiben. Gruppentheorie ist ja recht abstrakt, daher wird es deinen Lehrer sicher freuen, wenn du das ganze auf den Rubik's Cube übertragen kannst. Ist auch sicher mal ne Abwechslung für den Lehrer, und das kommt immer gut an 
.
btw: Ich hab meine Facharbeit in der Jgst. 12 übrigens über die Eulersche Identität geschrieben (noch bevor ich mit dem Cuben angefangen habe)
das ist ja mal ein Zufall
ich hatte geplant, mein Matura-Spezialgebiet in Mathe über die Gruppentheorie zu verfassen. Durch einen Lehrerwechsel konnte ich das aber vergessen [obwohl ich schon 10 Seiten geschrieben hatte, hrmf] und hab die komplexen Zahlen mit Fokus auf der eulerschen [das schreibt man klein, wenn man nicht apostrophiert, btw] Identität gewählt. xD
(06.10.2009, 13:49)Ben schrieb: [ -> ]Kann man nicht irgendwie mathematisch beweisen, dass es unmöglich ist eine Edge zu drehn? Das würd dir ja schon reichen, oder?
den beweis kenn ich.
er beruht darauf, dass jeder einzelne Turn eine gerade Anzahl an Edges flippt
das war's. Es ist schließlich mechanisch unmöglich.
mathematisch formuliert schauts natürlich anders aus. Ich glaub, Bandelow hat den in seinem Buch.
Büchertipps:
Einführung in die Cubologie - Christoph Bandelow [hat nen netten Abschnitt über cubes und gruppentheorie; noch aus den 80ern, eher schwer zu bekommen]
Einführung in die Gruppentheorie - Pawel Alexandroff [einfach zu bekommen, recht neu, aber nur Gruppentheorie allgemein. aber eine Facharbeit kannste wohl kaum nur über den Würfel schreiben ^^]
Adventures in Group Theory - Rubik's Cube, Merlin's Machine & other mathematical toys - David Joyner [auch schwer zu bekommen]
zum Beweis:
Ausschnitt, das in den eckigen Klammern kommt von mir; man braucht allerdings seine Definitionen zu kennen, um damit was anfangen zu können:
"2.4. Charakterisierung der möglichen Positionen und Operationen
Mit dem folgenden Satz kann einer beliebigen Position mühelos angesehen werden, ob sie durch Scheibendrehungen in den Ausgangszustand überführt werden kann oder nicht.
Satz 1. Eine R-Position (rho, sigma, x, y) ist genau dann möglich, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(a) sgn(rho) = sgn(sigma) [damit meint er das Vorzeichen der Permutation/ob sie gerade oder ungerade ist, der Kanten bzw. Ecken, also wird durch diesen Satz die Parity weggenommen]
(b) x1 + x2 +... + x8 = 0 modulo 3 [= Corners Orientation]
© y1 + y2 + ... + y12 = 0 modulo 2 [= Edge Orientation]
Beweis. (1) Wir zeigen zunächst, dass die drei Bedingungen notwendig sind, d.h. für jede mögliche Position gelten. Dies ist recht einfach. Einerseits sind (a), (b) und © für den Ausgangszustand I(p) mit rho = I(S(8)), sigma = I(S(12)), also sgn rho = sgn sigma = 1, und mit x1 = x2 = ... = x8 = y1 = y2 = ... = y12 = 0 erfüllt.
Andererseits bleiben (a), (b) und © bei jedem der sechs 90° Züge O, U R, L, V und H erhalten: (a) bleibt gültig, da jeder dieser Züge gleichzeitig einen Ecken-4-Zyklus und einen Kanten-4-Zyklus, also eine ungerade Permutation der Eckencubies und eine ungerade Permutation der Kantencubies, bewirkt. (b) bleibt gültig, da sich die Komponenten von x bei O oder U überhaupt nicht ändern, während sich bei R, L, V und H jeweils zwei Komponenten um 1 modulo 3 erhöhen und zwei Komponenten um 1 modulo 3 erniedrigen. © bleibt gültig, da sich bei jedem der sechs Züge genau vier Komponenten von y um 1 ändern."
- Christoph Bandelow in "Einführung in die Cubologie", Braunschweig 1981
[Als nächstes muss noch bewiesen werden, dass die Bedingungen auch hinreichend sind, das braucht dann doch noch ein Weilchen...]
Eine direkte Folgerung daraus ist ja die Anzahl der möglichen Positionen, quasi die Mächtigkeit der Rubikgruppe:
1/12*8!*12!*3^8*2^12 = 43 252 003 274 489 856 000
ich bin erst in der 10. habe deswegen mit facharbeiten noch ncihts zu tun (bin ja noch G9)